Areal

Areal

Areal er et mere abstrakt begreb end højde, længde og mængde. Børn har tidligt lært at måle en længde på ting, en højde (/længde) af en person, og kender også til begrebet om at der er en vis mængde (rumfang) af noget sand i en spand el.lign. Men begrebet areal er noget anderledes. Areal handler om at finde størrelsen på en flade. Fladen er dog ikke en mængde som man kan veje, og det er ikke en fast størrelse som man simpelt kan begribe. Eksempelvis kan 5 m2 indtage utallige former og er altså ikke en fast størrelse som eksempelvis 5 cm.

Vi vil herunder se på arealet af forskellige figurer:

Arealet af et rektangel

Vi kan altså her inddele rektanglet i nogle felter med en størrelse på 1x1 cm.
Rektanglet er altså blevet inddelt i 3 rækker med 4 felter i hver.
Vi skal altså tælle de 3 rækker 4 gange.
Dermed får vi A = 3 · 4 = 12
Arealet af rektanglet er altså 12 cm2
Hvilket vi også kan se ved at den ene side er 3 cm lang mens den anden er 4 cm. Her kan vi bruge vores formel og får altså det samme, nemlig
A = l · b = 3 · 4 = 12 cm2

Arealet af en trekant

Vi har her en retvinklet trekant. At formlen for en trekants areal gælder her, kan virke åbenlyst, da det virker oplagt at vi her har halvdelen af et rektangel, og dermed halvdelen at rektanglets areal.

Her ser vi tydeligt at diagonalen i rektanglet, deler rektanglet i to lige store dele.
Og vi ganger derfor blot grundlinjen, g med højden, h, og tager det halve, altså ganger med 1/2.

I en trekant som ikke er retvinklet, kan det være sværere at se hvorfor formlen gælder.
Hvis vi tegner et rektangel som før, kan det være svært at se så præcis som før, at trekanten svarer til halvdelen af rektanglet.

Måske kan man ane at det cirka gælder for denne type trekant, men det fremgår ikke så klart som i den retvinklede ovenfor.


Da vi godt kan lide retvinklede trekanter, kan vi nu prøve at opdele denne trekant i to retvinklede, og se hvad vi får.

Vi ser altså at hver af de to retvinklede trekanter, udgør halvdelen af hver deres rektangel.
Vi regner på det:
Vi starter med at finde arealet af hver af de to retvinklede trekanter.



Trekanten til venstre:

Trekanten til højre:

Det samlede areal, vil altså på denne måde være 3 cm² + 6 cm² + 9 cm².
Vi vil nu prøve at udregne arealet for trekanten, som én samlet trekant:

Formlen gælder altså for alle trekanter.

Arealet af et parallelogram

Siderne i et parallelogram er parvis lige store og parallelle. To sider overfor hinanden har altså samme længe og hældning.

Vi ser her at trekanten til venstre svarer til den manglende trekant til højre, så figuren nu danner et rektangel. Arealet findes derefter på samme måde som for rektanglet tidligere, da vi ser at højden, h, i parallelogrammet svarer til sidelængden i det dannede rektangel. 
Grundlinjen g forbliver også samme længde både før og efter flytningen, og formlen gælder altså: 

Arealet af en trapez

En trapez er en firkant, hvor minimum to af siderne er parallelle - en trapez kan altså indtage mange forskellige former.


Når vi skal udregne arealet af en trapez, kan vi ikke længere benytte os af formlen for arealet af et rektangel. 
Vi ser også på formlen, at vi nu skal se på trekanter i figuren: 
A = 1/2 · h · (a + b)
Det vises bedst med en illustration                                                                                    

Vi ser her, at højden h på trapezen svarer til højden h₁ på trekanten til højre, som er højden fra punktet A nedfældet på linjen a.
Højden h₂  svarer også til højden h. h₂ er nedfældet fra punkt B til linjen b.
Vi kan nu udregne arealet af trapez ved at lægge de to trekantsarealer sammen:

Her har vi de to formler lagt sammen. Da vi ved at de to højder er det samme, kan vi sætte den første del af udtrykket uden for en parentes, og får:

Som altså er formlen vi gerne ville frem til. 

Arealet af en cirkel

Arealet af en cirkel findes ved at gange pi, π, med radius i anden, r². Hvor π er en konstant (π≈3,14), som angiver forholdet mellem radius og omkreds i en vilkårlig cirkel, og radius er afstanden fra centrum, C, til cirkelkanten.
Men hvorfor er formlen sådan?        

Hvis vi deler cirklen op i mindre udsnit, 
og stiller dem ved siden af hinanden, 
ser vi at de tilnærmelsesvis danner 
et parallelogram.

Hvis vi nu forestiller os at udsnittene bliver uendeligt små, vil figuren komme til at ligne et parallelogram endnu mere uden buer ved hvert udsnit. 

Arealet findes som tidligere nævnt ved at gange højden med grundlinjen. 

Højden er her svarende til radius i cirklen, da udsnittene er taget fra centrum og ud til cirkelkanten. 

Grundlinjen svarer til halvdelen af cirklens omkreds, da den anden halvdel ligger i den øverste linje parallelt med grundlinjen. 

Omkredsen af en cirkel er

hvor hvor d er cirklens diameter. Vi skal altså finde halvdelen af denne værdi, for at have grundlinjen i parallelogrammet:

Vi ser her at halvdelen af omkredsen svarer til π · r. Det skyldes at halvdelen af diameteren som bekendt svarer til radius. 

Derved har vi at g = π · r, og for at finde arealet af parallelogrammet, skulle vi altså gange højden med grundlinjen og får:

Arealet af det dannede parallelogram er altså π · r² hvilket altså også svarer til cirklens areal.