Thales

Thales blev efter han død i 548 f.v.t. opfattet som pioner indenfor græsk matematik. Omkring 1000 år efter hans død, beskriver filosoffen Proklos, hvordan Thales tog til Ægypten og senere Grækenland, hvor han underviste i sine mange sætninger. 

største opdagelse, Thales skulle have gjort, er den generelle metode til afstandsbestemmelse. Han kunne efter sigende bestemme højden på pyramiderne ud fra pyramidernes skyggelængde. 

Thales afstandsberegning bygger på en erkendelse af, at to trekanter med parvis lige store vinkler blot er en forstørrelse af hinanden. Hvis vi ser på nedenstående billede af det, vi kalder en ”Jacobstav”, så ser vi at det røde område danner en ret trekant kaldet ABC, hvor B er ret. Idet vi kan måde afstanden mellem A, B og C, så skal vi blot gange tallene op, så det passer til afstanden til den genstand, men ønsker at måle afstanden/højden på.

Thales sætning:

Et linjestykke parallelt med en af siderne i en trekant skærer de to andre sider i proportionale dele.

Bevis

       

                                                                                                                                                   

Vi kan ud fra tegningen se, at vi får trekanterne:

·       ABC 

·       MNC

·       MNB

Vi kan se at trekanterne MNC og MNB, trekanterne CMB og BNC samt trekanterne CAM og BAN har samme grundlinje og samme højde og dermed må have samme areal, idet arealet findes med:

A=1/2*h*G   

Dermed får vi:

areal af CAM=areal af BAN

areal af CMB=areal af BNC

Dette må altså være det samme som:

(areal af CAM)/(areal af CMB)=(areal af BAN)/(areal af BNC)

Hvis vi erstatter udtrykkene med arealformlen får vi udtrykket:

(1/2*h_1*|AM|)/(1/2*h_1*|MB| )=(1/2*h_2*|AN|)/(1/2*h_2*|NC| )

Vi lader  1/2 og h gå ud med hinanden, således vi får:

|AM|/|MB| =|AN|/|NC| 

Sætning 1 er hermed bevist!

Øvrige sætninger

I kapitlet omkring Thales er der nævnt 3 sætninger foruden Thales sætning (beviser forefindes i Geometribogen kap. 6):

·       Sætning 2: Hvis to trekanter har parvis lige store vinkler, så er de ensliggende sider i de to trekanter proportionale

·       Sætning 3: Den omvendte til Thales sætning: Hvis en linje skærer to af siderne i en trekant i proportionale dele, så er linjen parallel med den tredje 

·       Sætning 4: Hvis ABCD er en firkant, og P, Q, R og S er midtpunkterne af siderne, så er firkant PQRS et parallelogram