”I en retvinklet trekant er kvadratet på den side der ligger over for den rette vinkel, lig summen af kvadraterne på de sider der indeslutter den rette vinkel”.
Lad ABC være en retvinklet trekant. I definition 21 har han defineret hvad en retvinklet trekant er.
Derefter bruger han I. 47, som han lige har bevist inden dette bevis, til at konstruere kvadrater på de tre linjestykker. Ud fra linjestykket BC bliver kvadrat BDEC konstrueret. På linjestykket AC bliver kvadrat CIHA konstrueret. Og på linjestykket AB bliver kvadrat AGFB konstrueret.
Dernæst bruger han sætning 31, som siger, at man kan trække en ret linje fra et punkt parallelt med en linje. Han trækker en linje fra A parallelt med enten CE eller BD ned på linjestykket DE. Så bruger han også postulat 1, som siger at man kan trække en ret linje mellem to punkter. Han trækker en linje fra punktet C til Punktet F og ligeledes tegner han en linje fra punktet A til punktet D.
Ud fra sætning 14 kan han så konkludere, at når vinkel BAC og BAG begge er rette, og linjestykkerne AG og AC begge er tegnet ud fra punktet A, må de være en forlængelse af hinanden. Ligeledes må linjestykkerne BA og AH være forlængelser af hinanden, med brug af samme argument.
Ud fra postulat 4 og sætning 42 konkluderer han, at vinkel DBC er lig vinkel FBA, da det begge er rette vinkler. Så benytter han sig af andet aksiom, som siger, at hvis man har to værdier, som er lige store, og lægger den samme værdi til begge to, vil værdierne fortsat være lig hinanden.
Herefter konkluderer han på baggrund af sætning 4, at når en trekant har to sider parvis lige store, vil resten af trekanten også være identisk. Det betyder at DB er lig BC; FB er lig BA. Igen benytter han sig af andet aksiom, idet han fatter at DB og BA parvis er lig BC og FB. Vinkel DBA er også lig vinkel FBC, hvilket så medfører at grundlinjerne AD og FC er lig hinanden. Alt dette kunne fattes ud fra sætning 4, som betyder at trekant FBC er lig med ABD.
Parallelogrammet BK er dobbelt så stort som trekant ABD. Det er de på baggrund af sætning 41, som tidligere er bevist, som siger ”Når et parallelogram har samme grundlinje som en trekant og ligger mellem de samme paralleller, er parallelogrammet dobbelt så stort som trekanten”. Den fælles grundlinje er linjestykket BD og så ligger de mellem de samme paralleller BD og AK.
Ligeledes er kvadrat GB dobbelt så stort som trekant FBC da deres fælles grundlinje er linjestykket FB, og de begge ligger mellem parallellerne FB og GC.
Da de to trekanter, der var halvt så stor som henholdsvis kvadratet og parallelogrammet er lige store, så siger aksiom 1, at så må kvadratet og parallelogrammet også være lige store.
Hvis man i stedet for at trække linjerne AD og FC tegnede linjerne AE og BI, vil man i stedet kunne bevise at parallelogrammet CK er lig kvadrat AHIC.
Ud fra postulat 4 og sætning 42 konkluderer han, at vinkel BCE er lig vinkel ACI, da det begge er rette vinkler. Så benytter han sig af andet aksiom, som siger, at hvis man har to værdier, som er lige store, og lægger den samme værdi til begge to, vil værdierne fortsat være lig hinanden.
Herefter konkluderer han på baggrund af sætning 4, at når en trekant har to sider parvis lige store, vil resten af trekanten også være identisk. Det betyder at EC er lig BC; IC er lig AC. Igen benytter han sig af andet aksiom, idet han fatter at IC og BC parvis er lig AC og CE. Vinkel ICB er også lig vinkel ACE, hvilket så medfører at grundlinjerne BI og AE er lig hinanden. Alt dette kunne fattes ud fra sætning 4, som betyder at trekant IBC er lig med trekant ACE.
Parallelogrammet CK er dobbelt så stort som trekant ACE. Det er de på baggrund af sætning 41, som tidligere er bevist. Den fælles grundlinje er linjestykket EC og så ligger de mellem de samme paralleller EC og AK.
Ligeledes er kvadrat HC dobbelt så stort som trekant ICB da deres fælles grundlinje er linjestykket IC, og de begge ligger mellem parallellerne IC og HB.
Da de to trekanter, der var halvt så stor som henholdsvis kvadratet og parallelogrammet er lige store, så siger aksiom 1, at så må kvadratet og parallelogrammet også være lige store.
Nu er det bevist, at kvadratet på hypotenusen altså den modstående side til den rette vinkel, er lig kvadraterne på de to kateter. Hvilket svarer til det vi kender som Pythagoras sætning.
Ingen kommentarer:
Send en kommentar