Afstand og lokalisering

Hej venner ! Idag har vi undervist, i afstand og lokalisering. Hvis vi starter med lokalisering. Hvad er lokalisering så. Det lokalisering handler om er at vi kan finde et bestemt punkt i forskellige sammenhænge, det kan f.eks. være på et kort, koordinat system eller exelark. Men hvad hvis vi ikke kan tale om det samme sted på kortet, så kan det være svært at lokalisere noget helt præcist. Og her kommer vores første øvelse ind i billedet. Øvelse 1: I går sammen 2 og 2. Én for udleveret en tegning, som den anden ikke må se. I skal nu ved hjælp af almindelig sprogbrug, hjælpe jeres makker med at tegne det I ser på tegningen kun ved at snakke sammen. // dette kan godt være svært og bliver også en øvelse i hvordan man kommunikerer, for at den anden forstår, hvad det er, man vil og hvordan det ser ud. // Det var en svær øvelse, nu skal vi prøve at gøre det lidt nemmere.  

Øvelse: 2: I går igen sammen med en makker. I bestemmer selv om det er den samme der tegner eller om I vil bytte. Nu får I så en tegning, hvor der er et “koordinat” system på. (Hver hak svare til et tern på et stk. ternet papir). I skal nu prøve at tegne denne, og se om det bliver nemmere at lokalisere de forskellige figurer og at blive enige om hvor de skal tegnes. I må som før ikke se hinandens stykke papir. Afstand: Til afstand vil vi gerne have jer til at finde nogen af de sidelængder der er på jeres tegning. Der er 2 muligheder her. Enten så kan I vælge at tegne figurerne ind i geogebra og bruge de værktøjer til at finde de forskellige længder på figurene. Eller I kan gøre det i hånden, det er hvad I føler I har mest brug for.

Areal

Areal

Areal er et mere abstrakt begreb end højde, længde og mængde. Børn har tidligt lært at måle en længde på ting, en højde (/længde) af en person, og kender også til begrebet om at der er en vis mængde (rumfang) af noget sand i en spand el.lign. Men begrebet areal er noget anderledes. Areal handler om at finde størrelsen på en flade. Fladen er dog ikke en mængde som man kan veje, og det er ikke en fast størrelse som man simpelt kan begribe. Eksempelvis kan 5 m2 indtage utallige former og er altså ikke en fast størrelse som eksempelvis 5 cm.

Vi vil herunder se på arealet af forskellige figurer:

Arealet af et rektangel

Vi kan altså her inddele rektanglet i nogle felter med en størrelse på 1x1 cm.
Rektanglet er altså blevet inddelt i 3 rækker med 4 felter i hver.
Vi skal altså tælle de 3 rækker 4 gange.
Dermed får vi A = 3 · 4 = 12
Arealet af rektanglet er altså 12 cm2
Hvilket vi også kan se ved at den ene side er 3 cm lang mens den anden er 4 cm. Her kan vi bruge vores formel og får altså det samme, nemlig
A = l · b = 3 · 4 = 12 cm2

Arealet af en trekant

Vi har her en retvinklet trekant. At formlen for en trekants areal gælder her, kan virke åbenlyst, da det virker oplagt at vi her har halvdelen af et rektangel, og dermed halvdelen at rektanglets areal.

Her ser vi tydeligt at diagonalen i rektanglet, deler rektanglet i to lige store dele.
Og vi ganger derfor blot grundlinjen, g med højden, h, og tager det halve, altså ganger med 1/2.

I en trekant som ikke er retvinklet, kan det være sværere at se hvorfor formlen gælder.
Hvis vi tegner et rektangel som før, kan det være svært at se så præcis som før, at trekanten svarer til halvdelen af rektanglet.

Måske kan man ane at det cirka gælder for denne type trekant, men det fremgår ikke så klart som i den retvinklede ovenfor.


Da vi godt kan lide retvinklede trekanter, kan vi nu prøve at opdele denne trekant i to retvinklede, og se hvad vi får.

Vi ser altså at hver af de to retvinklede trekanter, udgør halvdelen af hver deres rektangel.
Vi regner på det:
Vi starter med at finde arealet af hver af de to retvinklede trekanter.



Trekanten til venstre:

Trekanten til højre:

Det samlede areal, vil altså på denne måde være 3 cm² + 6 cm² + 9 cm².
Vi vil nu prøve at udregne arealet for trekanten, som én samlet trekant:

Formlen gælder altså for alle trekanter.

Arealet af et parallelogram

Siderne i et parallelogram er parvis lige store og parallelle. To sider overfor hinanden har altså samme længe og hældning.

Vi ser her at trekanten til venstre svarer til den manglende trekant til højre, så figuren nu danner et rektangel. Arealet findes derefter på samme måde som for rektanglet tidligere, da vi ser at højden, h, i parallelogrammet svarer til sidelængden i det dannede rektangel. 
Grundlinjen g forbliver også samme længde både før og efter flytningen, og formlen gælder altså: 

Arealet af en trapez

En trapez er en firkant, hvor minimum to af siderne er parallelle - en trapez kan altså indtage mange forskellige former.


Når vi skal udregne arealet af en trapez, kan vi ikke længere benytte os af formlen for arealet af et rektangel. 
Vi ser også på formlen, at vi nu skal se på trekanter i figuren: 
A = 1/2 · h · (a + b)
Det vises bedst med en illustration                                                                                    

Vi ser her, at højden h på trapezen svarer til højden h₁ på trekanten til højre, som er højden fra punktet A nedfældet på linjen a.
Højden h₂  svarer også til højden h. h₂ er nedfældet fra punkt B til linjen b.
Vi kan nu udregne arealet af trapez ved at lægge de to trekantsarealer sammen:

Her har vi de to formler lagt sammen. Da vi ved at de to højder er det samme, kan vi sætte den første del af udtrykket uden for en parentes, og får:

Som altså er formlen vi gerne ville frem til. 

Arealet af en cirkel

Arealet af en cirkel findes ved at gange pi, π, med radius i anden, r². Hvor π er en konstant (π≈3,14), som angiver forholdet mellem radius og omkreds i en vilkårlig cirkel, og radius er afstanden fra centrum, C, til cirkelkanten.
Men hvorfor er formlen sådan?        

Hvis vi deler cirklen op i mindre udsnit, 
og stiller dem ved siden af hinanden, 
ser vi at de tilnærmelsesvis danner 
et parallelogram.

Hvis vi nu forestiller os at udsnittene bliver uendeligt små, vil figuren komme til at ligne et parallelogram endnu mere uden buer ved hvert udsnit. 

Arealet findes som tidligere nævnt ved at gange højden med grundlinjen. 

Højden er her svarende til radius i cirklen, da udsnittene er taget fra centrum og ud til cirkelkanten. 

Grundlinjen svarer til halvdelen af cirklens omkreds, da den anden halvdel ligger i den øverste linje parallelt med grundlinjen. 

Omkredsen af en cirkel er

hvor hvor d er cirklens diameter. Vi skal altså finde halvdelen af denne værdi, for at have grundlinjen i parallelogrammet:

Vi ser her at halvdelen af omkredsen svarer til π · r. Det skyldes at halvdelen af diameteren som bekendt svarer til radius. 

Derved har vi at g = π · r, og for at finde arealet af parallelogrammet, skulle vi altså gange højden med grundlinjen og får:

Arealet af det dannede parallelogram er altså π · r² hvilket altså også svarer til cirklens areal. 

Pythagoras

Pythagoras

Pythagoras var en græsk matematiker, som fandt ud af, at man i retvinklede trekanter altid kan finde den sidste side, hvis man allerede kender de to andre sider.


Pythagoras’ sætning:
I en retvinklet trekant med kateterne a, b og hypotenusen c gælder følgende:

 a² + b² = c² 

Pythagoras’ sætning bruges ofte i sammenhænge med afstands-, areal-, og rumfangsberegning.

I Fælles Mål 2009 står det beskrevet, at efter 9.klasse skal eleverne kunne ”udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras sætning”.  Dog kræves det ikke at eleverne lærer selve beviset for sætningen. I trinmålene for 9. Klasse står der beskrevet under matematiske kompetencer, at eleverne skal kunne ”udtænke, gennemføre, forstå og vurdere matematiske ræsonnementer og arbejde med enkelte beviser”. Det er bedst at gennemføre beviser i emnet geometri, da ordet ”bevis”, kun forekommer under dette emne, da der under slutmål for 9. Klasse, står beskrevet at eleverne skal ”arbejde med definitioner, sætninger og geometriske argumenter og enkle beviser”.

Derfor kunne Pythagoras sætning være en mulighed som man som lærer kan vælge at bevise, for at opbygge eleverne ræsonnementskompetence.

Der findes forskellige former for beviser for Pythagoras sætning. Men vi har valgt at have fokus på en, hvor man ved hjælp af to kvadrater kan finde frem til sætningen a² + b² = c².

Vi har ovenstående kvadrat med et mindre kvadrat inden i. Siderne i det store kvadrat kaldes a+b. Det lille kvadrats sider, inde i det store kvadrat, er navngivet ved bogstavet c. Desuden danner det lille kvadrat i det store kvadrat fire kongruente trekanter, som altså vil sige at størrelsen på vinkler og længden på siderne er ens for alle trekanterne.

Vi starter med at bestemme arealet af det store kvadrat, som kan beregnes på to måder:   

1. A_{stort kvadrat}: (a+b)*(a+b) = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab. Her udregnes arealet ved at side ydersiderne (a+b) ganget med hinanden.

2. A_{stort kvadrat}: c^2+4*(1/2*a*b) = c^2+2ab. Her udregnes arealet ved at sige det lille kvadrats areal plus de fire trekanter, som findes ved ½*højde*grundlinje.

Vi har nu to udtryk for arealet af det store kvadrat, som vi sætter lig hinanden og omskriver

a^2+b^2+2ab = c^2+2ab

à a^2+b^2 = c^2 Hermed er Pythagoras sætning bevist.

Nedenfor findes en række tekstopgaver til man kan bruge til regning med Pythagoras.

8 tekstopgaver til Pythagoras 




Opgave 1:

Beregn længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er 11cm og 15cm

Opgave 2:

Beregn længden af en diagonal i et kvadrat med sidelængde 12cm

Opgave 3:

Beregn længden af en diagonal i et rektangel med siderne 7cm og 5cm

Opgave 4:

I et koordinatsystem er afsat to punkter, A med koordinaterne (4;3) og B med koordinaterne (0;1). Beregn afstanden imellem de to punkter.

Opgave 5:

Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængderne 7cm

Opgave 6:

Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængden 2a

Opgave 7: Laves gerne i Geogebra

I et koordinatsystem afsættes punkterne A (-2;5), B (3;5) og C (5;9)
Sammen med punktet D udgør de tre punkter vinkelspidserne i et parallelogram.

a) Angiv koordinaterne til D.


b) Beregn parallelogrammets sidelængder samt omkreds. 

c) Beregn længden af de to diagonaler AC og BD

Opgave 8: Laves gerne i Geogebra

I et koordinatsystem afsættes punkterne A (3;2), B (7;9) og C (10;2) 

a) Beregn trekantens omkreds og areal.


b) Beregn h a og h c

Heeeej venner! Her er lidt om Thales.

Thales

Thales blev efter han død i 548 f.v.t. opfattet som pioner indenfor græsk matematik. Omkring 1000 år efter hans død, beskriver filosoffen Proklos, hvordan Thales tog til Ægypten og senere Grækenland, hvor han underviste i sine mange sætninger.

største opdagelse, Thales skulle have gjort, er den generelle metode til afstandsbestemmelse. Han kunne efter sigende bestemme højden på pyramiderne ud fra pyramidernes skyggelængde.

Thales afstandsberegning bygger på en erkendelse af, at to trekanter med parvis lige store vinkler blot er en forstørrelse af hinanden. Hvis vi ser på nedenstående billede af det, vi kalder en ”Jacobstav”, så ser vi at det røde område danner en ret trekant kaldet ABC, hvor B er ret. Idet vi kan måde afstanden mellem A, B og C, så skal vi blot gange tallene op, så det passer til afstanden til den genstand, men ønsker at måle afstanden/højden på.

Thales sætning:

Et linjestykke parallelt med en af siderne i en trekant skærer de to andre sider i proportionale dele.

Bevis

       

                                                                                                                                                     

Vi kan ud fra tegningen se, at vi får trekanterne:

·       ABC

·       MNC

·       MNB

Vi kan se at trekanterne MNC og MNB, trekanterne CMB og BNC samt trekanterne CAM og BAN har samme grundlinje og samme højde og dermed må have samme areal, idet arealet findes med:

A=1/2*h*G   

Dermed får vi:

areal af CAM=areal af BAN

areal af CMB=areal af BNC

Dette må altså være det samme som:

(areal af CAM)/(areal af CMB)=(areal af BAN)/(areal af BNC)

Hvis vi erstatter udtrykkene med arealformlen får vi udtrykket:

(1/2*h_1*|AM|)/(1/2*h_1*|MB| )=(1/2*h_2*|AN|)/(1/2*h_2*|NC| )

Vi lader  1/2 og h gå ud med hinanden, således vi får:

|AM|/|MB| =|AN|/|NC| 

Sætning 1 er hermed bevist!

Øvrige sætninger

I kapitlet omkring Thales er der nævnt 3 sætninger foruden Thales sætning (beviser forefindes i Geometribogen kap. 6):

·       Sætning 2: Hvis to trekanter har parvis lige store vinkler, så er de ensliggende sider i de to trekanter proportionale

·       Sætning 3: Den omvendte til Thales sætning: Hvis en linje skærer to af siderne i en trekant i proportionale dele, så er linjen parallel med den tredje

·       Sætning 4: Hvis ABCD er en firkant, og P, Q, R og S er midtpunkterne af siderne, så er firkant PQRS et parallelogram