Pythagoras

Pythagoras

Pythagoras var en græsk matematiker, som fandt ud af, at man i retvinklede trekanter altid kan finde den sidste side, hvis man allerede kender de to andre sider.


Pythagoras’ sætning:
I en retvinklet trekant med kateterne a, b og hypotenusen c gælder følgende:

 a² + b² = c² 

Pythagoras’ sætning bruges ofte i sammenhænge med afstands-, areal-, og rumfangsberegning.

I Fælles Mål 2009 står det beskrevet, at efter 9.klasse skal eleverne kunne ”udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras sætning”.  Dog kræves det ikke at eleverne lærer selve beviset for sætningen. I trinmålene for 9. Klasse står der beskrevet under matematiske kompetencer, at eleverne skal kunne ”udtænke, gennemføre, forstå og vurdere matematiske ræsonnementer og arbejde med enkelte beviser”. Det er bedst at gennemføre beviser i emnet geometri, da ordet ”bevis”, kun forekommer under dette emne, da der under slutmål for 9. Klasse, står beskrevet at eleverne skal ”arbejde med definitioner, sætninger og geometriske argumenter og enkle beviser”.

Derfor kunne Pythagoras sætning være en mulighed som man som lærer kan vælge at bevise, for at opbygge eleverne ræsonnementskompetence.

Der findes forskellige former for beviser for Pythagoras sætning. Men vi har valgt at have fokus på en, hvor man ved hjælp af to kvadrater kan finde frem til sætningen a² + b² = c².

Vi har ovenstående kvadrat med et mindre kvadrat inden i. Siderne i det store kvadrat kaldes a+b. Det lille kvadrats sider, inde i det store kvadrat, er navngivet ved bogstavet c. Desuden danner det lille kvadrat i det store kvadrat fire kongruente trekanter, som altså vil sige at størrelsen på vinkler og længden på siderne er ens for alle trekanterne.

Vi starter med at bestemme arealet af det store kvadrat, som kan beregnes på to måder:   

1. A_{stort kvadrat}: (a+b)*(a+b) = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab. Her udregnes arealet ved at side ydersiderne (a+b) ganget med hinanden.

2. A_{stort kvadrat}: c^2+4*(1/2*a*b) = c^2+2ab. Her udregnes arealet ved at sige det lille kvadrats areal plus de fire trekanter, som findes ved ½*højde*grundlinje.

Vi har nu to udtryk for arealet af det store kvadrat, som vi sætter lig hinanden og omskriver

a^2+b^2+2ab = c^2+2ab

à a^2+b^2 = c^2 Hermed er Pythagoras sætning bevist.

Nedenfor findes en række tekstopgaver til man kan bruge til regning med Pythagoras.

8 tekstopgaver til Pythagoras 




Opgave 1:

Beregn længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er 11cm og 15cm

Opgave 2:

Beregn længden af en diagonal i et kvadrat med sidelængde 12cm

Opgave 3:

Beregn længden af en diagonal i et rektangel med siderne 7cm og 5cm

Opgave 4:

I et koordinatsystem er afsat to punkter, A med koordinaterne (4;3) og B med koordinaterne (0;1). Beregn afstanden imellem de to punkter.

Opgave 5:

Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængderne 7cm

Opgave 6:

Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængden 2a

Opgave 7: Laves gerne i Geogebra

I et koordinatsystem afsættes punkterne A (-2;5), B (3;5) og C (5;9)
Sammen med punktet D udgør de tre punkter vinkelspidserne i et parallelogram.

a) Angiv koordinaterne til D.


b) Beregn parallelogrammets sidelængder samt omkreds. 

c) Beregn længden af de to diagonaler AC og BD

Opgave 8: Laves gerne i Geogebra

I et koordinatsystem afsættes punkterne A (3;2), B (7;9) og C (10;2) 

a) Beregn trekantens omkreds og areal.


b) Beregn h a og h c